BRAID GROUPS

DETAILS

 
Introduction

      Lattice Structure and Canonical Factors

      Representing Elements of a Braid Group

            Automatic Conversions

            Default Presentations

            Representation Used for Group Operations

            Printing of Elements

      Normal Form for Elements of a Braid Group

      Mixed Canonical Form and Lattice Operations

      Positive Conjugates, Super Summit Sets and Conjugacy Testing

            Computing Super Summit Sets

            Testing Conjugacy of Elements

 
Constructing and Accessing Braid Groups
      BraidGroup(n: parameters) : RngIntElt -> GrpBrd
      GetPresentation(B) : GrpBrd -> MonStgElt
      SetPresentation(~B, s) : GrpBrd, MonStgElt ->
      GetForceCFP(B) : GrpBrd -> BoolElt
      SetForceCFP(~B, b) : GrpBrd, BoolElt ->
      GetElementPrintFormat(B) : GrpBrd -> MonStgElt
      SetElementPrintFormat(~B, s) : GrpBrd, MonStgElt ->
      NumberOfStrings(B) : GrpBrd -> RngIntElt
      NumberOfGenerators(B) : GrpBrd -> RngIntElt

 
Creating Elements of a Braid Group
      Representative(B) : GrpBrd -> GrpBrdElt
      Identity(B) : GrpBrd -> GrpBrdElt
      FundamentalElement(B: parameters) : GrpBrd -> GrpBrdElt
      B . i : GrpBrd, RngIntElt -> GrpBrdElt
      B . T : GrpBrd, Tup -> GrpBrdElt
      B ! [ i_1, ..., i_k ] : GrpBrd, [ RngIntElt ] -> GrpBrdElt
      B ! [ T_1, ..., T_k ] : GrpBrd, [ Tup ] -> GrpBrdElt
      B p : GrpBrd, GrpPermElt -> GrpBrdElt
      B ! [ p_1, ...,p_k ]: GrpBrd, [ GrpPermElt ] -> GrpBrdElt
      B T : GrpBrd, Tup -> GrpBrdElt
      IsProductOfParallelDescendingCycles(p) : GrpPermElt -> BoolElt
      Random(B, m, n: parameters) : GrpBrd, RngIntElt, RngIntElt -> GrpBrdElt
      Example GrpBrd_Constructor (H29E1)

 
Working with Elements of a Braid Group

      Accessing Information
            Parent(u) : GrpBrdElt -> GrpBrd
            # u : GrpBrdElt -> RngIntElt
            CanonicalFactorRepresentation(u: parameters) : GrpBrdElt -> Tup
            WordToSequence(u: parameters) : GrpBrdElt -> SeqEnum
            InducedPermutation(u) : GrpBrdElt -> GrpPermElt
            CanonicalLength(u: parameters) : GrpBrdElt -> RngIntElt
            Infimum(u: parameters) : GrpBrdElt -> RngIntElt
            Supremum(u: parameters) : GrpBrdElt -> RngIntElt
            SuperSummitCanonicalLength(u: parameters) : GrpBrdElt -> RngIntElt
            SuperSummitInfimum(u: parameters) : GrpBrdElt -> RngIntElt
            SuperSummitSupremum(u: parameters) : GrpBrdElt -> RngIntElt
            Example GrpBrd_Access (H29E2)

      Computing Normal Forms of Elements
            LeftNormalForm(u: parameters) : GrpBrdElt -> GrpBrdElt
            LeftNormalForm(~u: parameters) : GrpBrdElt ->
            RightNormalForm(u: parameters) : GrpBrdElt -> GrpBrdElt
            RightNormalForm(~u: parameters) : GrpBrdElt ->
            LeftMixedCanonicalForm(u: parameters) : GrpBrdElt -> Tup, Tup
            RightMixedCanonicalForm(u: parameters) : GrpBrdElt -> Tup, Tup
            Example GrpBrd_NormalForm (H29E3)

      Arithmetic Operators and Functions for Elements
            u * v : GrpBrdElt, GrpBrdElt -> GrpBrdElt
            u *:= v : GrpBrdElt, GrpBrdElt ->
            u / v : GrpBrdElt, GrpBrdElt -> GrpBrdElt
            u /:= v : GrpBrdElt, GrpBrdElt ->
            u ^ n : GrpBrdElt, RngIntElt -> GrpBrdElt
            u ^:= n : GrpBrdElt, RngIntElt ->
            u ^ v : GrpBrdElt, GrpBrdElt -> GrpBrdElt
            u ^:= v : GrpBrdElt, GrpBrdElt ->
            Inverse(u) : GrpBrdElt -> GrpBrdElt
            Inverse(~u) : GrpBrdElt ->
            LeftConjugate(u, v) : GrpBrdElt, GrpBrdElt -> GrpBrdElt
            LeftConjugate(~u, v) : GrpBrdElt, GrpBrdElt -> GrpBrdElt
            LeftDiv(u, v) : GrpBrdElt, GrpBrdElt -> GrpBrdElt
            LeftDiv(u, ~v) : GrpBrdElt, GrpBrdElt -> GrpBrdElt
            Cycle(u: parameters) : GrpBrdElt -> GrpBrdElt
            Cycle(~u: parameters) : GrpBrdElt ->
            Decycle(u: parameters) : GrpBrdElt -> GrpBrdElt
            Decycle(~u: parameters) : GrpBrdElt ->
            Example GrpBrd_Arithmetic (H29E4)

      Boolean Predicates for Elements
            u in B : GrpBrdElt, GrpBrd -> BoolElt
            u notin B : GrpBrdElt, GrpBrd -> BoolElt
            IsEmptyWord(u: parameters) : GrpBrdElt -> BoolElt
            AreIdentical(u, v: parameters) : GrpBrdElt, GrpBrdElt -> BoolElt
            IsSimple(u: parameters) : GrpBrdElt -> BoolElt
            IsSuperSummitRepresentative(u: parameters) : GrpBrdElt -> BoolElt
            IsIdentity(u: parameters) : GrpBrdElt -> BoolElt
            u eq v : GrpBrdElt, GrpBrdElt -> BoolElt
            u ne v : GrpBrdElt, GrpBrdElt -> BoolElt
            u <= v : GrpBrdElt, GrpBrdElt -> BoolElt
            u >= v : GrpBrdElt, GrpBrdElt -> BoolElt
            IsConjugate(u, v: parameters) : GrpBrdElt, GrpBrdElt -> BoolElt, GrpBrdElt
            Example GrpBrd_Boolean (H29E5)

      Lattice Operations
            LeftGCD(u, v: parameters) : GrpBrdElt, GrpBrdElt -> GrpBrdElt
            RightGCD(u, v: parameters) : GrpBrdElt, GrpBrdElt -> GrpBrdElt
            LeftGCD(S: parameters) : Setq -> GrpBrdElt
            RightGCD(S: parameters) : Setq -> GrpBrdElt
            LeftLCM(u, v: parameters) : GrpBrdElt, GrpBrdElt -> GrpBrdElt
            RightLCM(u, v: parameters) : GrpBrdElt, GrpBrdElt -> GrpBrdElt
            LeftLCM(S: parameters) : Setq -> GrpBrdElt
            RightLCM(S: parameters) : Setq -> GrpBrdElt
            Example GrpBrd_Boolean (H29E6)

      Positive Conjugates and Super Summit Sets
            PositiveConjugates(u: parameters) : GrpBrdElt -> SetIndx
            SuperSummitRepresentative(u: parameters) : GrpBrdElt -> GrpBrdElt, GrpBrdElt
            SuperSummitSet(u: parameters) : GrpBrdElt -> SetIndx
            Example GrpBrd_Conjugates (H29E7)

            Computing Positive Conjugates and Super Summit Sets Interactively
                  PositiveConjugatesProcess(u: parameters) : GrpBrdElt -> GrpBrdClassProc
                  SuperSummitProcess(u: parameters) : GrpBrdElt -> GrpBrdClassProc
                  BaseElement(P) : GrpBrdClassProc -> GrpBrdElt
                  # P : GrpBrdClassProc -> RngIntElt
                  Representative(P) : GrpBrdClassProc -> GrpBrdElt
                  IsEmpty(P) : GrpBrdClassProc -> BoolElt
                  Elements(P) : GrpBrdClassProc -> SetIndx
                  u in P : GrpBrdElt, GrpBrdClassProc -> BoolElt, GrpBrdElt
                  u notin P : GrpBrdElt, GrpBrdClassProc -> BoolElt
                  NextElement(~P) : GrpBrdClassProc ->
                  Complete(~P) : GrpBrdClassProc ->
                  Example GrpBrd_ConjugatesProcess (H29E8)

 
Homomorphisms

      General remarks

      Constructing Homomorphisms
            hom< B -> G | S : parameters > : Struct , Struct -> Map

      Accessing Homomorphisms
            e @ f : GrpBrdElt, Map -> GrpElt
            B @ f : GrpBrd, Map -> Grp
            u @@ f : GrpElt, Map -> GrpBrdElt
            Domain(f) : Map -> Grp
            Codomain(f) : Map -> Grp
            Image(f) : Map -> Grp
            Example GrpBrd_Homomorphisms (H29E9)

      Representations of Braid Groups
            SymmetricRepresentation(B) : GrpBrd -> Map
            BurauRepresentation(B) : GrpBrd -> Map
            BurauRepresentation(B, p) : GrpBrd, RngIntElt -> Map

 
Bibliography